Memahami Himpunan, Relasi dan Fungsi

HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI

A.    Himpunan

1.      Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal-hal lain tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.

Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … }

Contoh :

A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A.

2.      Penulisan Himpunan

a)      Bentuk Enumerasi

yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan diantara dua kurung kurawal.

Contoh :

A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama.

B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

b)      Notasi Pembentuk Himpunan

yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.

Contoh :

A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.

B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

C = { x | 10 < x < 20 , x  bilangan prima }.

c)      Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran.

Contoh : 

3.      Jenis – jenis Himpunan

a)      Himpunan kosong

adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan

b)      Himpunan semesta

adalah himpunan yang memuat semua objek-objek yang sedang  dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S.

c)      Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika

setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dinotasikan dengan :
artinya A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.

Contoh:

A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka

d)      Himpunan kuasa (Power Set)

adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

Contoh :

S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }

e)      Himpunan tak hingga

adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak

terhingga atau tidak terbatas.

Contoh:

A = { x | x adalah bilangan asli }

4.      Operasi Himpunan

a)      Gabungan (Union)

Himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.

Notasi : A U B dibaca A union B.

Contoh :

A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g } maka A U B = { a, b, c, d, e, f, g }

b)      Irisan

Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari angota-angotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu angota-angota yang termasuk A dan juga termasuk B.

Notasi : A∩B yang dibaca ”A irisan B”

Contoh :

A = { a, b, c, d } dan B = { c, d, e,f } maka A∩B = { c, d }

c)      Selisih

Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.

Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B”

Contoh :

A = { 1, 3, 5, 7, 8 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } maka A – B = { 5, 7, 8 }

d)      Komplemen

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen

yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta “S” dan A.

Notasi : A^C = { x |x ∉ A } atau A^C = { x | x  S ; S ∉ A }. A^C  dibaca A komplemen.

Contoh :

S = { 1, 2,  . . . 9 } dan A = { bilangan ganjil kurang dari 9 }

maka A^c = { 2, 4, 6, 8 }.

e)      Hasil kali Cartesius

Hasil kali dua himpunan A dan B dimana semua pasangan berurutan dengan dan dan dinyatakan dengan A x B.

Notasi : A x B = {(x,y) | dan}

Contoh :

A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)

5.      Sifat – sifat Himpunan

a)      Sifat identitas:

·         A ∪ ∅ = A

·         A ∩ U = A

b)      Sifat dominasi:

·         A ∩ ∅ = ∅

·         A ∪ U = U

c)      Sifat komplemen:

·         A ∪ A = U

·         A ∩ A = ∅

d)      Sifat idempoten:

·         A ∪ A = A

·         A ∩ A = A

·          

e)      Sifat involusi:

·         (A= A)

f)      Sifat absorpsi:

·         A ∪ (A ∩ B) = A  

·         A ∩ (A ∪ B) = A

g)      Sifat  komutatif:

·         A ∪ B = B ∪ A

·         A ∩ B = B ∩ A

h)      Sifat asosiatif:

·      A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

·      A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

i)      Sifat distributif:

·      A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

·      A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

j)      Sifat komplemen

·         ∅ = U

·         U = ∅

B.    Relasi

1.      Definisi & cara penyajian Relasi

Suatu relasi R adalah himpunan A ke himpunan B yang merupakan subset A x B.

a)      Pasangan terurut

ð  Misalkan : A = { a } dan B = { a, b, n }

ð  R = { (a,a) (a,b) (a,n)}

b)      Diagram panah

c)      Table

ð  Misal A = { a, b, c } dan B = { 1, 2, 3 } maka relasinya dinyatakan :

d)      Matriks

ð  Misal A = { 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 8, 9 }

(a, b)  R jika A factor prima dari B. Maka R dinyatakan :

Keterangan : 1 = Relasi dan 0 tidak samadengan Relasi

e)      Graf berarah

ð  Misal R = { (2,4) (2,8) (3,9) maka :

f)      Diagram  koordinat

ð  Misal R = { (2,2) (2,4) (2,8) (3,3) (3,9) maka :

2.      Sifat – sifat Relasi

a)      Refleksi

Jika
dengan kata lain suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak Refleksi jika ada a  A sedemikian sehingga (a,a) ∉ R

b)      Transitif

c)      Simetri

Dikatakan bukan simetri jika (b,a) ∉ R

C.    Fungsi

1.      Definisi Fungsi

Misalkan A dan B merupakan himpunan. Suatu fungsi f dari A ke B merupakan sebuah aturan yang mengkaitkan satu (tepat satu) unsur di B untuk setiap unsur di A. Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A. Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :

f : A → B artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.              

A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Misalkan f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

2.      Cara Penyajian fungsi

a)      Himpunan pasangan terurut.

Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :  f = {(2, 4), (3, 9)}

b)      Formula pengisian nilai (assignment).  

f(x) = x² + 10,

 f(x) = 5x,

c)      Kata-kata

Misal “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bilangan bulat menjadi kuadratnya”.